Question

已知數(shù)列{an}(n∈N*)是等比數(shù)列，且a_n＞0，a₁=2，a₃=8，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜1；
（3）設(shè)b_n=2log₂a_n+1，求數(shù)列{b_n}的前100項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q．由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1qn-1可求q，進(jìn)而可求通項(xiàng)
（2）利用等比數(shù)列的求和公式可求

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=1-

1

2n

，由1-

1

2n

＜1可證
（3）由bn=2log22n+1=2n+1可知數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的求和公式可求

解答：解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q．
則由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1qn-1得a3=a1q3-1，
∴q²=4
又a_n＞0
∴q=2--------（2分）
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是an=2×2n-1=2n--------（3分）．
（2）

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 (1-  1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

--------（6分），
∵n≥1
∴1-

1

2n

＜1--------（7分），
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜1--------（8分）．
（3）由bn=2log22n+1=2n+1--------（9分），
又b_n-b_n-1=2n+1-[2（n-1）+1]=2
∴數(shù)列{b_n}是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列--------（11分），
∴數(shù)列{b_n}的前100項(xiàng)和是S100=100×3+

100×99

2

×2=10200--------（12分）．

點(diǎn)評：本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，等比數(shù)列求和公式及等差數(shù)列的求和的應(yīng)用，屬于數(shù)列部分基本方法的應(yīng)用．