Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且

a

2 n

+an=2Sn．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求證：

S1

+

S2

+…+

Sn

＞

Sn

2

．

Answer 1

分析：（1）令n=1，得

a

2 1

+a1=2S1=2a1，解得a₁=1，由

a

2 n

+an=2Sn，得

a

2 n+1

+an+1=2Sn+1，所以（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，由此能求出a_n．
（2）Sn=

n(n+1)

2

，由n＜

n(n+1)

，知

n

2

＜

n(n+1) 2

，由此能夠證明

S1

+

S2

+…+

Sn

＞

Sn

2

．

解答：解：（1）∵

a

2 n

+an=2Sn，
∴令n=1，得

a

2 1

+a1=2S1=2a1，
∵a₁＞0，∴a₁=1，
又由條件 

a

2 n

+an=2Sn，

a

2 n+1

+an+1=2Sn+1，
上述兩式相減，得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0
∵a_n＞0，∴a_n+1+a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=1
所以，a_n=1+1×（n-1）=n．…（6分）
（2）Sn=

n(n+1)

2

，
∵n＜

n(n+1)

，
∴

n

2

＜

n(n+1) 2

，

S1

+

S2

+…

Sn

=

1×2 2

+

2×3 2

+…+

n(n+1) 2

；

S1

+

S2

+…

Sn

＞

1

2

+

2

2

+…+

n

2

=

n(n+1)

2 2

=

Sn

2

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意迭代法和構(gòu)造法的合理運(yùn)用．