Question

如圖所示，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，CD=2AB=2AD．
（Ⅰ）求證：BC⊥BE；
（Ⅱ）在EC上找一點M，使得BM∥平面ADEF，請確定M點的位置，并給出證明．

Answer 1

分析：（I）由已知梯形中AD⊥CD，AB∥CD，CD=2AB=2AD，易證BD⊥CB，要證明BC⊥BE，可轉化為證BC⊥平面BDE，由已知可得DE⊥平面ABCD從而可得DE⊥BC，由線面垂直的判定定理可得
（II）由已知CD=2AB=2AD．考慮取CD的中點N，BN∥AD，從而有BN∥平面ADEF，當M為EC的中點時，有MN∥DE，則MN∥平面ADEF

解答：證明：
（Ⅰ）因為正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，DE⊥AD
所以DE⊥平面ABCD∴DE⊥BC（1分）
因為AB=AD，所以∠ADB=∠BDC=

π

4

，BD=

AD2+AB2

=

2

AD
取CD中點N，連接BN
則由題意知：四邊形ABND為正方形
所以BC=

BN2+CN2

=

AD2+ 1 4 CD2

=

AD2+AD2

=

2

AD，BD=BC
則△BDC為等腰直角三角形
則BD⊥BC（5分）
則BC⊥平面BDE
則BC⊥BE（7分）
（Ⅱ）取EC中點M，則有BM∥平面ADEF（8分）
證明如下：連接MN
由（Ⅰ）知BN∥AD，所以BN∥平面ADEF
又因為M、N分別為CE、CD的中點，所以MN∥DE
則MN∥平面ADEF（10分）
則平面BMN∥平面ADEF，所以BM∥平面ADEF（12分）

點評：本題主要考查了直線平面垂直的判定，直線與平面垂直的性質定理，及“線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉化，還考查了線面平行的判定．