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設f（x）=x3+x2+x（x∈R），又若a∈R，則下列各式一定成立的是（　�。�
A、f（a）≤f（2a）B、f（a2）≥f（a）C、f（a2-1）＞f（a）D、f（a2+1）＞f（a）
分析：由f（x）=x3+x2+x（x∈R），求導得到f′（x）=3x2+2x+1=3（x+
1
3
）2+
2
3
＞0恒成立，進而有函數f（x）在定義域上是增函數，再根據函數單調性定義求解．
解答：解：∵f（x）=x3+x2+x（x∈R），
∴f′（x）=3x2+2x+1=3（x+
1
3
）2+
2
3
＞0恒成立，
∴函數f（x）在定義域上是增函數
又∵a2+1＞a
∴f（a2+1）＞f（a）
故選D
點評：本題主要考查函數單調性的證明及函數單調性定義的應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

3、設f（x）=x3+x-8，現用二分法求方程x3+x-8=0在區(qū)間（1，2）內的近似解，計算得f（1）＜0，f（1.5）＜0，f（1.75）＜0，f（2）＞0，則方程的根所在的區(qū)間是（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

設f（x）=x3+ax2+bx+c，又k是一個常數，已知當k＜0或k＞4時，f（x）-k=0只有一個實根，當0＜k＜4時，f（x）-k=0有三個相異實根，現給出下列命題：
（1）f（x）-4=0和f′（x）=0有且只有一個相同的實根．
（2）f（x）=0和f′（x）=0有且只有一個相同的實根．
（3）f（x）+3=0的任一實根大于f（x）-1=0的任一實根．
（4）f（x）+5=0的任一實根小于f（x）-2=0的任一實根．
其中錯誤命題的個數為（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•韶關一模）設f（x）在區(qū)間I上有定義，若對?x1，x2∈I，都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
，則稱f（x）是區(qū)間I的向上凸函數；若對?x1，x2∈I，都有f(
x1+x2
2
)≤
f(x1)+f(x2)
2
，則稱f（x）是區(qū)間I的向下凸函數，有下列四個判斷：
①若f（x）是區(qū)間I的向上凸函數，則-f（x）在區(qū)間I的向下凸函數；
②若f（x）和g（x）都是區(qū)間I的向上凸函數，則f（x）+g（x）是區(qū)間I的向上凸函數；
③若f（x）在區(qū)間I的向下凸函數，且f（x）≠0，則
1
f(x)
是區(qū)間I的向上凸函數；
④若f（x）是區(qū)間I的向上凸函數，?x1，x2，x3，x4∈I，則有f（
x1+x2+x3+x4
4
）≥
f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)
4

其中正確的結論個數是（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2006•朝陽區(qū)二模）已知函數f（x）=x3-
3
2
mx2+n，1＜m＜2
（Ⅰ）若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值為1，最小值為-2，求m、n的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求經過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（Ⅲ）設函數f（x）的導函數為g（x），函數F（x）=
g(x)+3x+1
6
•e2x，試判斷函數F（x）的極值點個數，并求出相應實數m的范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）是定義在R上的偶函數，且f（x+2）=f（x）恒成立；當x∈[0，1]時，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當x∈[-1，0]時f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標由小到大構成一個無窮等差數列；
④關于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
其中真命題的個數為（　　）

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