Question

已知、為橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為其上一點(diǎn)，且有

.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，過與平行的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，求四邊形的面積的最大值.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，先利用橢圓定義得到的值并求出的值，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程求出的值，最終求出橢圓的方程；（2）根據(jù)平行四邊形的幾何性質(zhì)得到，即先求出的面積的最大值，先設(shè)直線的方程為，且、，將此直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理將的面積表示成只含的表達(dá)式，并利用換元法將代數(shù)式進(jìn)行化簡，最后利用基本不等式并結(jié)合雙勾函數(shù)的單調(diào)性來求出面積的最大值，從而確定平行四邊形面積的最大值.

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

由已知得，，

又點(diǎn)在橢圓上， ，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）由題意可知，四邊形為平行四邊形 ，

設(shè)直線的方程為，且、，

由得，

，，

，

，

令，則，，

又在上單調(diào)遞增，

，的最大值為，

所以的最大值為.

考點(diǎn)：1.橢圓的定義與方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系；3.韋達(dá)定理；4.基本不等式