Question

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的上焦點(diǎn)，上一點(diǎn)在軸上方，且.

（1）求直線的方程；

（2）為直線與異于的交點(diǎn)，的弦，的中點(diǎn)分別為，若在同一直線上，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1) 的方程為或.(2)3

【解析】

(1) 設(shè) ，可得，，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到直線的方程；

(2)利用點(diǎn)差法可得，又因?yàn)?/span>在同一直線上，所以，所以，設(shè)出直線，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理即可表示面積，結(jié)合均值不等式即可得到結(jié)果.

解法一：（1）設(shè) ，因?yàn)?/span>，所以①

又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以②

由①②解得：或，所以的坐標(biāo)為或

又因?yàn)?/span>的坐標(biāo)為，所以直線的方程為或.

（2）當(dāng)在第一象限時(shí)，直線

設(shè)，則，

兩式相減得：

因?yàn)?/span>不過(guò)原點(diǎn)，所以，即，

同理：

又因?yàn)?/span>在同一直線上，所以，所以，

設(shè)直線，

由得：，由，得

由韋達(dá)定理得：，，

所以，

又因?yàn)?/span>到直線的距離，

所以

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，

所以的面積的最大值為3，

當(dāng)在第二象限時(shí)，由對(duì)稱性知，面積的最大值也為3，

綜上，面積的最大值為3.

解法二：（1）同解法一；

（2）當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，直線

由，得：，則中點(diǎn)的坐標(biāo)為

所以直線

①當(dāng)直線斜率不存在或斜率為零時(shí)，不共線，不符合題意；

②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，

由得：，由，得，

由韋達(dá)定理，，，

所以

因?yàn)?/span>在同一直線上，所以，解得，

所以，，，

所以

又因?yàn)?/span>到直線的距離為

所以

當(dāng)，即時(shí)，面積的最大值為3，

所以面積的最大值為3，

當(dāng)在第二象限時(shí)，由對(duì)稱性知，面積的最大值也為3，

綜上，面積的最大值為3.