Question

如圖，在四棱椎P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，CD∥AB，CD⊥DA且PD=DA=AB=

1

2

DC=2．設(shè)PB中點為E．
（1）證明：平面PBD⊥平面PBC；
（2）求AB與平面PBC所成角的正弦值；
（3）求鈍二面角A-PB-C的大小．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件可分別以DA，DC，DP三條直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知的邊的長度求出點A，B，C，D，P點的坐標(biāo)，要證明兩平面垂直，根據(jù)面面垂直的判定定理，只要一個平面內(nèi)一條直線和另一個平面垂直即可．已知PD⊥平面ABCD，所以得到PD⊥BC，所以試著看BC能否垂直BD，若和BD垂直，便可得到BC⊥平面PBD，這時候可以求出向量

DB

，

BC

的坐標(biāo)，然后求

DB

•

BC

=0，所以BC⊥BD，這樣該問就得到了證明；
（2）要求AB與平面PBC所成角的正弦值，可求

AB

與平面PBC法向量夾角余弦值的絕對值，所以設(shè)

n1

=(x1，y1，z1)，根據(jù)

n1

⊥

BC

，

n1

⊥

BP

，然后得到對應(yīng)數(shù)量積為0即可求出

n1

，

AB

的坐標(biāo)可求出來，所以便可根據(jù)兩向量夾角的余弦公式求出

n1

，

AB

夾角余弦值的絕對值；
（3）要求鈍二面角A-PB-C的大小，可求平面PAB和平面PBC法向量夾角，根據(jù)法向量夾角和二面角的大小相等或互補(bǔ)的特點即可求出該鈍二面角的大小，可設(shè)平面PAB的法向量為

n2

，根據(jù)（2）中求

n1

的方法求出

n2

，然后求出cos＜

n1

，

n2

＞，從而求出＜

n1

，

n2

＞，繼而求得該鈍二面角的大小．

解答： 解：（1）根據(jù)已知條件知，DA，DC，DP三條直線兩兩垂直，所以分別以這三條直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：
根據(jù)已知的邊的長度可求以下幾點坐標(biāo)：
D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）；
∴

DB

=(1，1，0)，

BC

=(-1，1，0)；
∴

DB

•

BC

=0，∴

DB

⊥

BC

，即BC⊥DB，又PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD；
∴PD⊥BC，即BC⊥PD，PD∩DB=D；
∴BC⊥平面PBD，BC?平面PBC；
∴平面PBC⊥平面PBD，即平面PBD⊥平面PBC；
（2）設(shè)平面PBC的法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，

BP

=(-1，-1，1)則：

n1 • BC =0 n1 • BP =0

，∴

-x1+y1=0 -x1-y1+z1=0

；
∴

x1= 1 2 z1 y1= 1 2 z1

，取z₁=2，則

n1

=(1，1，2)，

AB

=(0，1，0)；
∴AB與平面PBC所成角的正弦值等于

AB

與

n1

所夾角的余弦值的絕對值；
|cos＜

AB

，

n1

＞|=|

AB • n1

| AB || n1 |

|=

1

6

=

6

6

；
∴AB與平面PBC所成角的正弦值為

6

6

；
（3）設(shè)平面PAB的法向量為

n2

=（x₂，y₂，z₂），根據(jù)（2）求

n1

的方法同理可求得

n2

=（1，0，1）；
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

3

6 • 2

=

3

2

；
∴＜

n1

，

n2

＞=30°；
∴鈍二面角A-PB-C的大小為150°．

點評：考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明直線的垂直，求直線和平面所成角，以及二面角的大小的方法，線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，向量夾角的余弦公式，二面角的概念．