Question

如圖，設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y²=4px(p＞0)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB,OM⊥AB，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線.

Answer 1

思路解析：OA⊥OB即·=0；OM⊥AB即·=0直接應(yīng)用坐標(biāo)運(yùn)算即可.

解：設(shè)A（,y₁）,B(,y₂),M(x,y).

=(,y₁),=(,y₂),=(x,y),

=(,y₂-y₁),=(x-,y-y₁).

∵OA⊥OB,∴·=0，即·+y₁y₂=0.∴y₁y₂=-16p².             ①

又∵⊥,∴·=0,即x+(y₂-y₁)y=0,

化簡(jiǎn)得x+y=0.                                                                               ②

又∵AM∥AB,∴(x-)(y₂-y₁)-( -)(y-y₁)=0,

即x-·y+=0.把①、②代入整理得

x²+y²-4px=0,∵A、B是異于原點(diǎn)的點(diǎn)，∴x≠0.

∴點(diǎn)M的軌跡方程為x²+y²-4px=0(x≠0),它表示以（2p,0）為圓心，以2p為半徑的圓（除去原點(diǎn)）.