在雙曲線4x2-y2=1的兩條漸近線上分別取點(diǎn)A和B，使得|OA|•|OB|=15，其中O為雙曲線的中心，則AB中點(diǎn)的軌跡方程是
x2
5
-
y2
20
=±1
x2
5
-
y2
20
=±1
．
分析：先由雙曲線方程4x2-y2=1求出它的漸近線方程，再根據(jù)漸近線方程設(shè)A（m，2m），B（n，-2n），由于|OA|•|OB|=15，
化得：m2n2=25，設(shè)AB中點(diǎn)M（x，y）利用職權(quán)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得4x2-y2=4mn，從而消去mn即得所求的AB中點(diǎn)的軌跡方程．
解答：解：∵雙曲線4x2-y2=1，∴a2=
1
4
，b2=1
∴漸近線y=2x，y=-2x，
設(shè)A（m，2m），B（n，-2n），由于|OA|•|OB|=15，
∴|OA|2•|OB|2=225，
∴（m2+4m2）（n2+4n2）=225
∴m2n2=25，
設(shè)AB中點(diǎn)M（x，y）
x=
1
2
（m+n），y=m-n，
∴（2x）2-y2=（m+n）2-（m-n）2
4x2-y2=4mn
（4x2-y2）2=16m2n2=16×25，
∴4x2-y2=±20，即
x2
5
-
y2
20
=±1，
故答案為：
x2
5
-
y2
20
=±1．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、軌跡方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．
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設(shè)P（a，b）（b≠0）是平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)，l是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)（1，b）的直線，記Q是直線l與拋物線x2=2py（p≠0）的異于原點(diǎn)的交點(diǎn)
（1）若a=1，b=2，p=2，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)
（2）若點(diǎn)P（a，b）（ab≠0）在橢圓
x2
4
+y2=1上，p=
1
2ab
，
求證：點(diǎn)Q落在雙曲線4x2-4y2=1上
（3）若動(dòng)點(diǎn)P（a，b）滿足ab≠0，p=
1
2ab
，若點(diǎn)Q始終落在一條關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的拋物線上，試問(wèn)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡落在哪種二次曲線上，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B，我們稱(chēng)△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似三角形，則稱(chēng)這兩個(gè)橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比．已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1以拋物線y2=4
3
x的焦點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4．（1）若橢圓C2與橢圓C1相似，且相似比為2，求橢圓C2的方程．
（2）已知點(diǎn)P（m，n）（mn≠0）是橢圓C1上的任一點(diǎn)，若點(diǎn)Q是直線y=nx與拋物線x2=
1
mn
y異于原點(diǎn)的交點(diǎn)，證明點(diǎn)Q一定落在雙曲線4x2-4y2=1上．
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C1相似且短半軸長(zhǎng)為b的橢圓為Cb，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直線l上，B，D在曲線Cb上，若存在求出函數(shù)f（b）=SABCD的解析式及定義域，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

在雙曲線4x2-y2=1的兩條漸近線上分別取點(diǎn)A和B，使得|OA|•|OB|=15，其中O為雙曲線的中心，則AB中點(diǎn)的軌跡方程是________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010年遼寧省大連市高三雙基測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

在雙曲線4x2-y2=1的兩條漸近線上分別取點(diǎn)A和B，使得|OA|•|OB|=15，其中O為雙曲線的中心，則AB中點(diǎn)的軌跡方程是    ．

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