Question

如圖，在正三棱柱（底面為正三角形，側(cè)棱與底面垂直的棱柱）ABC―A₁B₁C₁中，F(xiàn)是A₁C₁的中點(diǎn)，

 （1）求證：BC₁//平面AFB₁ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m       

（2）求證：平面AFB₁⊥平面ACC₁A₁

（3）作出平面AFB₁與平面BCC₁B₁ 的交線

 

 

Answer 1

解析：（1）連A₁B交A B₁于點(diǎn)G，連接GF

        ∵正三棱柱ABC―A₁B₁C₁的側(cè)面A₁B₁ BA是矩形

        ∴對(duì)角線互相平分，即點(diǎn)G為A₁B的中點(diǎn)

        又△A₁BC₁中，點(diǎn)F是A₁C₁的中點(diǎn)

        ∴GF是△A₁BC₁的中位線，即GF∥B C₁ ……2分

        又B C₁平面AF B₁，GF平面AF B₁ ……4分

        ∴B C₁∥平面A F B₁ ……5分

   （2）∵三棱柱ABC―A₁B₁C₁為正三棱柱

        ∴A A₁⊥平面A₁B₁C₁

        又B₁F平面A₁B₁C₁， ∴B₁F⊥A A₁

        又點(diǎn)F為正△A₁B₁C₁邊A₁C₁上的中點(diǎn)

        ∴B₁F⊥A₁C₁ ……7分

        又直線A₁C₁、A A₁是平面AC C₁A₁中的兩相交直線

        ∴B₁F⊥平面AC C₁A₁ ……9分

        又B₁F平面A F B₁

        ∴平面A F B₁⊥平面AC C₁A₁ ……10分

（3）延長AF交CC₁的延長線于點(diǎn)H，連接B₁H，則直線B₁H就是平面AFB₁與平面BCC₁B₁ 的交線�！�…12分

證明如下：

       ∵點(diǎn)B₁和H為平面AFB₁與平面BCC₁B₁ 的公共點(diǎn)

       ∴B₁H平面AFB₁，B₁H平面BCC₁B₁

       ∴平面AFB₁平面BCC₁B₁ = B₁H

即B₁H就是平面AFB₁與平面BCC₁B₁ 的交線  ……14分w