Question

已知{a_n}為遞增的等比數(shù)列，且{a₁，a₃，a₅}?{-10，-6，-2，0，1，3，4，16}．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）是否存在等差數(shù)列{b_n}，使得a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2對一切n∈N*都成立？若存在，求出b_n；若不存在，說明理由．

Answer 1

（I）因為{a_n}是遞增的等比數(shù)列，所以數(shù)列{a_n}公比q＞0，首項a₁＞0，
又{a₁，a₃，a₅}?{-10，-6，-2，0，1，3，4，16}，
所以a₁=1，a₃=4，a_s=16（3分）
從而q2=

a3

a1

=4，q=2，a_n=a₁q^n-1=2^n-1
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2^n-1（6分）
（II）假設(shè)存在滿足條件的等整數(shù)列{b_n}，其公差為d，則當n=1時，a₁b₁=1，
又∵a₁=1，∴b₁=1；
當n=2時，a₁b₂+a₂b₁=4，b₂+2b₁=4，b₂=2
則d=b₂-b₁=1，∴b_n=b₁+（n-1）d=1+（n-1）×1=n（8分）
以下證明當b_n=n時，a₁b_n+a₂b_n-1++a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2對一切n∈N*都成立．
設(shè)S_n=a₁b_n+a₂b_n-1+…+a_n-1b₂+a_nb₁，
即S_n=1×n+2×（n-1）+2²×（n-2）+2³×（n-3）+…+2^n-2×2+2^n-1×1，（1）
2S_n=2×n+2²×（n-1）+2³×（n-2）+…+2^n-1×2+2ⁿ×1，（2）
（2）-（1）得S_n=-n+2+2²+2³++2^n-1+2ⁿ=-n+

2(1-2n)

1-2

=2n+1-n-2，
所以存在等差數(shù)列{b_n}，b_n=n使得a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2對一切n∈N*都成立（12分）