Question

已知函數(shù)f（x）=-+2ax²-3a²x+1，0＜a＜1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極大值；
（Ⅱ）若x∈[1-a，1+a]時，恒有-a≤f′（x）≤a成立（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)），試確定實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）對函數(shù)求導，結(jié)合f′（x）＞0，f′（x）＜0，f′（x）=0可求解
（II）由題意可得-a≤-x²+4ax-3a²≤a在[1-a，1+a]恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸x=2a與區(qū)間[1-a，1+a]與的位置分類討論進行求解．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=-x²+4ax-3a²，且0＜a＜1，（1分）
當f′（x）＞0時，得a＜x＜3a；
當f′（x）＜0時，得x＜a或x＞3a；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，3a）；
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，a）和（3a，+∞）．（5分）
故當x=3a時，f（x）有極大值，其極大值為f（3a）=1．（6分）
（Ⅱ）f′（x）=-x²+4ax-3a²=-（x-2a）²+a²，
ⅰ）當2a≤1-a時，即時，f′（x）在區(qū)間[1-a，1+a]內(nèi)單調(diào)遞減．
∴[f′（x）]_max=f′（1-a）=-8a²+6a-1，[f′（x）]_min=f′（1+a）=2a-1．
∵-a≤f′（x）≤a，∴∴∴．
此時，．（9分）
ⅱ）當2a＞1-a，且2a＜a+1時，即，[f′（x）]_max=f′（2a）=a²．

∵-a≤f′（x）≤a，∴即
∴∴．
此時，．（12分）
ⅲ）當2a≥1+a時，得a≥1與已知0＜a＜1矛盾．（13分）
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為．（14分）
點評：本題綜合考查了函數(shù)的導數(shù)的運用及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，（II）的求解的關(guān)鍵是要對二次函數(shù)的對稱軸相對區(qū)間的位置分類討論，體現(xiàn)了分類討論的思想在解題中的應用．