Question

8．已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx-sin²x-3cos²x+1．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，a]上恰有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和與差的三角函數(shù)以及二倍角公式化簡(jiǎn)f（x）為：$\sqrt{2}sin（{2x-\frac{π}{4}}）-1$，利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求解函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可；
（2）令f（x）=0，求出函數(shù)的零點(diǎn)，通過(guò)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，a]上恰有3個(gè)零點(diǎn)，判斷零點(diǎn)的值，然后求解a的范圍．

解答 解：f（x）=sin2x+cos²x-3cos²x
=sin2x-2cos²x=sin2x-cos2x-1
=$\sqrt{2}sin（{2x-\frac{π}{4}}）-1$．                                               （3分）
（1）因?yàn)?-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，
所以$-\frac{π}{8}+kπ≤x≤\frac{3π}{8}+kπ$，
即增區(qū)間為$[{-\frac{π}{8}+kπ，\frac{3π}{8}+kπ}]（{k∈Z}）$（6分）
（2）令f（x）=0，即$sin（{2x-\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
解得$2x-\frac{π}{4}=\frac{π}{4}+2{k_1}π$或$2x-\frac{π}{4}=\frac{3π}{4}+2{k_2}π$，
即$x=\frac{π}{4}+{k_1}π$或$x=\frac{π}{2}+{k_2}π$．
當(dāng)k₁=0或1時(shí)，$x=\frac{π}{4}$或$\frac{5π}{4}$
當(dāng)k₂=0或1時(shí)，$x=\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$．
因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）在區(qū)間[0，a]上恰有3個(gè)零點(diǎn)，它們是$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{4}$，
所以$\frac{5π}{4}≤α≤\frac{3π}{2}$．                                         （12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點(diǎn)的公式的判斷，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．