Question

【題目】已知數(shù)列滿足：.

（1）寫出數(shù)列的前6項(xiàng)的值；

（2）猜想數(shù)列與的單調(diào)性，選擇一種情形證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1），，，，，；（2）證明見解析．

【解析】

（1）由已知得，由此依次求得；

（2）由歸納法得出數(shù)列與的單調(diào)性，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

（1）∵，∴，

∴，，，，，

（2）由（1） 結(jié)論：是遞增數(shù)列，是遞減數(shù)列．

由，得，由知數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，

①證是遞增數(shù)列，即證對一切正整數(shù)恒成立，

（i）顯然，即時(shí)，不等式成立，

（ii）假設(shè)時(shí)，不等式成立，即，∴，則，，即，

易知函數(shù)在上是增函數(shù)，

∴，

∴，

∵，∴，即，

∴時(shí)，不等式成立，

綜合（i）（ii）可知對一切正整數(shù)，成立，即是遞增數(shù)列．

②證是遞減數(shù)列，即證對一切正整數(shù)恒成立，

（i）顯然，即時(shí)，不等式成立，

（ii）假設(shè)時(shí)，不等式成立，即，∴，則，，（舍去），

易知函數(shù)在上是增函數(shù)，

∴，

∴，

∵，∴，即，

∴時(shí)，不等式成立，

綜合（i）（ii）可知對一切正整數(shù)，成立，即是遞減數(shù)列．