Question

（1）求不等式|2x+1|-|x-2|＞2的解集；
（2）不等式|2x+1|-|x-2|≥t²-

11

2

t恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）分x＜-

1

2

、-

1

2

≤x＜2與x≥2三類討論，去掉絕對(duì)值不等式中的絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的一次不等式，分別解之，最后取并即可；
（2）令f（x）=|2x+1|-|x-2|，通過對(duì)自變量x分x＜-

1

2

、-

1

2

≤x＜2與x≥2三類討論，可求得f（x）_min=-

5

2

；依題意，解不等式t²-

11

2

t≤f（x）_min=-

5

2

，即可求得實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)x＜-

1

2

時(shí)，|2x+1|-|x-2|＞2?-x-3＞2，解得：x＜-5；
當(dāng)-

1

2

≤x＜2時(shí)，|2x+1|-|x-2|＞2?3x-1＞2，解得：1＜x＜2；
當(dāng)x≥2時(shí)，|2x+1|-|x-2|＞2?x+3＞2，解得：x≥2；
綜上所述，不等式|2x+1|-|x-2|＞2的解集為{x|x＜-5或x＞1}．
（2）當(dāng)x＜-

1

2

時(shí)，f（x）=|2x+1|-|x-2|=-x-3，為區(qū)間（-∞，-

1

2

）上的減函數(shù)，
所以：f（x）_min=-（-

1

2

）-3=-

5

2

；
當(dāng)-

1

2

≤x＜2時(shí)，f（x）=|2x+1|-|x-2|=3x-1∈（-

5

2

，5）；
當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=|2x+1|-|x-2|=x+3＞5；
綜上所述，f（x）∈[-

5

2

，+∞），所以f（x）_min=-

5

2

；
因?yàn)椴坏仁絴2x+1|-|x-2|≥t²-

11

2

t恒成立，
所以t²-

11

2

t≤f（x）_min=-

5

2

，解得

1

2

≤t≤5，
即實(shí)數(shù)t的取值范圍為[

1

2

，5]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查分類討論思想與恒成立問題，（2）中求得f（x）_min=-

5

2

是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．