Question

已知橢圓E：

x2

4

+y2=1，橢圓E的內(nèi)接平行四邊形的一組對(duì)邊分別經(jīng)過它的兩個(gè)焦點(diǎn)（如圖），則這個(gè)平行四邊形面積的最大值是

4

．

Answer 1

分析：設(shè)橢圓E的內(nèi)接平行四邊形為如圖的四邊形ABCD，根據(jù)橢圓方程算出兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，從而設(shè)AB方程為y=k（x+

3

），與橢圓方程聯(lián)解消去y得（1+4k²）x-8

3

k²x+4（3k²-1）=0，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用根與系數(shù)的關(guān)系與弦長公式算出|AB|=

4(1+k2)

1+4k2

．設(shè)CD方程為y=k（x-

3

），利用平行線的距離公式算出直線AB、CD的距離為d=

2 3 |k|

1+k2

，從而得到平行四邊形ABCD的面積S=|AB|×d=8

3

•

k2(1+k2) (1+4k2)2

．最后采用換元法結(jié)合基本不等式求最值，即可求出當(dāng)且僅當(dāng)k=±

2

2

時(shí)，平行四邊形ABCD的面積S取得最大值為4．

解答：解：根據(jù)橢圓E方程，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F₁（-

3

，0），F(xiàn)₂（

3

，0）
設(shè)橢圓E的內(nèi)接平行四邊形為四邊形ABCD，如圖所示
直線AB方程為y=k（x+

3

），直線CD方程為y=k（x-

3

），
則由

x2 4 +y2=1 y=k(x+ 3 )

消去y，得（1+4k²）x-8

3

k²x+4（3k²-1）=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得

x1+x2= 8 3 k2 1+4k2 x1x2= 4(3k2-1) 1+4k2

由此可得|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x 1x2

=

4 1+k2

1+4k2

∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

4(1+k2)

1+4k2

由平行線之間的距離公式，得直線AB、CD的距離為d=

2 3 |k|

1+k2

因此，平行四邊形ABCD的面積S=|AB|×d=8

3

•

k2(1+k2) (1+4k2)2

令t=

k2(1+k2)

(1+4k2)2

=

( 1 4 +k2)2

(1+4k2)2

+

1 2 k2- 1 16

(1+4k2)2

=

1

16

+

1 2 k2- 1 16

(1+4k2)2

再令

1

2

k2-

1

16

=s，顯然當(dāng)k²＞

1

8

時(shí)，s＞0，t=

1

16

+

1 2 k2- 1 16

(1+4k2)2

＞

1

16

，此時(shí)可取到最大值．
∵t=

1

16

+

s

64s2+24s+ 9 4

=

1

16

+

1

24+(64s + 9 4s )

≤

1

16

+

1

24+2 64s× 9 4s

=

1

12

∴平行四邊形ABCD的面積S=8

3

•

t

≤8

3

×

1 12

=4，
當(dāng)且僅當(dāng)k=±

2

2

時(shí)，平行四邊形ABCD的面積S取得最大值為4
故答案為：4

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓的內(nèi)接平行四邊形，在已知兩個(gè)焦點(diǎn)在平行四邊形的對(duì)邊上時(shí)，求平行四邊形面積的最大值，著重考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線位置關(guān)系和利用基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．