Question

（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)（e=2．718 28 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（1）當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；

（2）判斷的單調(diào)性；

（3）證明：當(dāng)（1，+∞）時(shí)，．

Answer 1

（1）； （2）的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在點(diǎn)處的切線方程，注意這個(gè)點(diǎn)的切點(diǎn)是否在曲線上；（2）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性即可，其中需要注意參量的取值范圍；（3）對(duì)于較難分析或者是較為復(fù)雜的式子可以先用分析法分析一下，轉(zhuǎn)化成較容易理解的式子如：就可轉(zhuǎn)化為這樣就容易證明了．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，，∴切點(diǎn)為，

，，切線方程為; 3分

（2）， 4分

∵

∴當(dāng)時(shí)，，∴的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間； 6分

當(dāng)時(shí)，，，

∴的增區(qū)間為，減區(qū)間為； 9分

（3）當(dāng)（1，+∞）時(shí)，要證明： ．

即證，即證，即證

即證，

∵

即證， 11分

令

∵，

∴在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

∴，

即，

∴當(dāng)（1，+∞）時(shí)，得證． 14分

考點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)及其綜合應(yīng)用．