Question

在平面直角坐標系中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），圓O：x²+y²=a²，且過點A（

a2

c

，0）所作圓的兩條切線互相垂直．
（Ⅰ）求橢圓離心率；
（Ⅱ）若直線y=2

3

與圓交于D、E；與橢圓交于M、N，且DE=2MN，求橢圓的方程；
（Ⅲ）設(shè)點T（0，3）在橢圓內(nèi)部，若橢圓C上的點到點P的最遠距離不大于5

2

，求橢圓C的短軸長的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由過點A（

a2

c

，0）作圓的兩切線互相垂直，知OA=

2

a，由此能求出橢圓離心率．
（Ⅱ）由e=

2

2

，知橢圓C：

x2

2b2

+

y 2

b2

=1．由

x2+y2=a2 y=2 3

得x²=a²-12，所以DE=2

a2-12

，由

x2 2b2 + y2 b2 =1 y=2 3

得x²=2b²-24，所以MN=2

2b2-24

，由DE=2MN，得：a²-12=4（2b²-24）．由此能求出橢圓方程．
（Ⅲ）由點T（0，3）在橢圓內(nèi)部，知b＞3．設(shè)P（x，y）為橢圓上任一點，則PT²=x²+（y-3）²=2b²-2y²+（y-3）²=-（y+3）²+2b²+18，其中，-b＜y＜b．由此入手能夠求出橢圓C的短軸長的取值范圍6＜b≤8．

解答：解：（Ⅰ）由條件：過點A（

a2

c

，0）作圓的兩切線互相垂直，
∴OA=

2

a，即：

a2

c

=

2

a，
∴e=

2

2

．（3分）
（Ⅱ）∵e=

2

2

，
∴a²=2c²，a²=2b²，
∴橢圓C：

x2

2b2

+

y 2

b2

=1．（5分）

x2+y2=a2 y=2 3

得x²=a²-12，
∴DE=2

a2-12

，

x2 2b2 + y2 b2 =1 y=2 3

得x²=2b²-24，
∴MN=2

2b2-24

，（7分）
由DE=2MN，得：a²-12=4（2b²-24），
∴2b²-12=4（2b²-24），
解得：b²=14，a²=28，
∴橢圓方程為：

x2

28

+

y2

14

=1．（9分）
（Ⅲ）∵點T（0，3）在橢圓內(nèi)部，∴b＞3，
設(shè)P（x，y）為橢圓上任一點，則
PT²=x²+（y-3）²=2b²-2y²+（y-3）²
=-（y+3）²+2b²+18，其中，-b＜y＜b，（12分）
∵b＞3，∴-b＜-3，
∴當y=-3時，PT²的最大值2b²+18．（14分）
依題意：PT≤5

2

，∴PT²≤50，
∴2b²+18≤50，∴0＜b≤4，
又∵b＞3，∴3＜b≤4，即6＜2b≤8，
∴橢圓C的短軸長的取值范圍6＜b≤8．（16分）

點評：本題考查橢圓的離心率和橢圓方程的求法，求橢圓的短軸長的取值范圍．解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運用橢圓的性質(zhì)，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．