Question

三棱錐P-ABC中，PC=x，其余棱長均為1．
（1）求證：PC⊥AB；
（2）求三棱錐P-ABC的體積的最大值．

Answer 1

分析：（1）取AB中點M，由△PAB與△CAB均為正三角形，知AB⊥PM，AB⊥CM，由此能夠證明AB⊥PC．
（2）當(dāng)PM⊥平面ABC時，三棱錐的高為PM，由此能求出三棱錐P-ABC的體積的最大值．

解答：解：（1）取AB中點M，
∵△PAB與△CAB均為正三角形，
∴AB⊥PM，AB⊥CM，
∴AB⊥平面PCM，
∴AB⊥PC．
（2）當(dāng)PM⊥平面ABC時，
三棱錐的高為PM，
此時Vmax=

1

3

S△ABC•PM=

1

3

•

3

4

•

3

2

=

1

8

．

點評：本題考查PC⊥AB的證明和求三棱錐P-ABC的體積的最大值．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．