Question

設(shè)凼數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

），在一個周期內(nèi)，當(dāng)x=

π

12

時，取得最大值1，當(dāng)x=

7π

12

時取得最小值-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）畫出f（x）的簡圖，并寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）依題意，可求得A=1，由周期T=π可求得ω=2，ω×

π

12

+φ=2kπ+

π

2

（k∈Z），0＜φ＜π可求得φ，從而可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用“五點法”畫出該函數(shù)在一個周期內(nèi)的簡圖，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答： 解：（1）由題設(shè)知，A=1，
周期

T

2

=

7π

12

-

π

12

=

π

2

，T=π，又ω＞0，
∴ω=

2π

π

=2，
∴f（x）=sin（2x+φ），
又x=

π

12

時，y取得最大值1，
∴ω×

π

12

+φ=2kπ+

π

2

（k∈Z），
∴φ=2kπ+

π

3

（k∈Z），
∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

3

．
∴f（x）=sin（2x+

π

3

）
（2）列表，描點，連線，可得圖象如下：

2x+ π 3	0	π 2	π	3π 2	2π
x	- π 6	π 12	π 3	7π 12	5π 6
y	0	1	0	-1	0

由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z），
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）．
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），
得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

（k∈Z），
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]（k∈Z）．

點評：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象確定函數(shù)解析式，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．