Question

如圖，某市新體育公園的中心廣場平面圖如圖所示，在y軸左側的觀光道曲線段是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），x∈[-4，0]時的圖象且最高點B（-1，4），在y軸右側的曲線段是以CO為直徑的半圓�。�
（1）試確定A，ω和φ的值；
（2）現(xiàn)要在右側的半圓中修建一條步行道CDO（單位：米），在點C與半圓弧上的一點D之間設計為直線段（造價為2萬元/米），從D到點O之間設計為沿半圓弧的弧形（造價為1萬元/米）．設∠DCO=θ（弧度），試用θ來表示修建步行道的造價預算，并求造價預算的最大值？（注：只考慮步行道的長度，不考慮步行道的寬度）

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值．
（2）由題意可得CO=2

3

，取CO中點F，求得圓弧段

DO

造價預算為2

3

θ萬元，直線段CD造價預算為4

3

cosθ萬元，可得步行道造價預算g(θ)=4

3

cosθ+2

3

θ，θ∈(0，

π

2

)． 再利用導數(shù)求出函數(shù)g（θ）的單調(diào)性，從而求得g（θ）的最大值．

解答： 解：（1）因為最高點B（-1，4），所以A=4；

T

4

=-1-(-4)=3⇒T=12，
因為T=

2π

ω

=12⇒ω=

π

6

．
代入點B（-1，4），可得4=4sin[

π

6

×(-1)+φ]⇒sin(φ-

π

6

)=1，
又0＜φ＜π⇒φ=

2π

3

．
（2）由（1）可知：y=4sin(

π

6

x+

2π

3

)

，&x∈[-4，0]

，得點C(0，2

3

)即CO=2

3

，
取CO中點F，連結DF，因為弧CD為半圓弧，所以∠DFO=2θ，∠CDO=90°，
即

DO

=2θ×

3

=2

3

θ，則圓弧段

DO

造價預算為2

3

θ萬元．
Rt△CDO中，CD=2

3

cosθ，則直線段CD造價預算為4

3

cosθ萬元，
所以步行道造價預算g(θ)=4

3

cosθ+2

3

θ，θ∈(0，

π

2

)． 
由g′(x)=4

3

(-sinθ)+2

3

=2

3

(1-2sinθ)得，當θ=

π

6

時，g′（θ）=0，
當θ∈(0，

π

6

)時，g′（x）＞0，即g（θ）在(0，

π

6

)上單調(diào)遞增；
當θ∈(

π

6

，

π

2

)時，g′（x）＜0，即g（θ）在(

π

6

，

π

2

)上單調(diào)遞減
所以g（θ）在θ=

π

6

時取極大值，也即造價預算最大值為（6+

3

3

π）萬元．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于中檔題．