Question

7．函數(shù)y=x²-ax+3，x∈[0，3]的最大值為3，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的對稱軸為x=$\frac{a}{2}$，再分當$\frac{a}{2}$≤0時，當$\frac{a}{2}$≥3，即a≥6時，當0＜$\frac{a}{2}$＜3即0＜a＜6時三種情況，分別利用函數(shù)在[0，3]上的最大值為3，求得a的范圍，求并集從而得到a的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²-ax+3=（x-$\frac{a}{2}$）²+3-$\frac{1}{4}$a²的對稱軸為x=$\frac{a}{2}$，
且在[0，3]的最大值為3，
當$\frac{a}{2}$≤0時，函數(shù)在[0，3]上遞增，
則最大值為f（3）=12-3a=3，求得a=3（舍去）；
當$\frac{a}{2}$≥3，即a≥6時，函數(shù)在[0，3]上遞減，
則最大值為f（0）=3，成立；
當0＜$\frac{a}{2}$＜3即0＜a＜6時，最大值為f（0）或f（3）中一個，
由f（0）=3成立若f（3）≤3，則a≥3．
綜上可得，a的范圍是a≥3．

點評 本題主要考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．