設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于x=1對稱，對任意的、，都有．

(1)設(shè)f(1)=2，求；

(2)證明f(x)是周期函數(shù)．

答案：略
解析：

證明：(1)解：由，、知

，xÎ [0，1]．

∵

，

又f(1)=2，∴．

∵

，

又，

∴．

(2)證明：依題意，設(shè)y=f(x)關(guān)于直線x=1對稱，有f(x)=f(1＋1－x)，即f(x)=f(2－x)，xÎ R．

又f(x)為偶函數(shù)，有f(－x)=f(x)，xÎ R．

∴f(－x)=f(2－x)，xÎ R．

將式中的－x以x代換，有f(x)=f(x＋2)，xÎ R，這說明f(x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的周期．


提示：

從函數(shù)周期性的定義入手，結(jié)合函數(shù)的奇偶性、對稱性等進行證明．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（01全國卷理）(14分)

設(shè)f (x) 是定義在R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線x = 1對稱．對任意x1，x2∈[0，]都有f (x1＋x2) = f (x1) ? f (x2)．且f (1) = a＞0．

    (Ⅰ)求f () 及f ()；

(Ⅱ)證明f (x) 是周期函數(shù)；

(Ⅲ)記an = f (2n＋)，求．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f(x)是定義在R上的一個函數(shù)，函數(shù)g(x)= f(0n)(1-x)n+f()x(1-x)n-1+…+f()xn(1-x)0(x≠0,1).

(1)當(dāng)f(x)=1時，求g(x);

(2)當(dāng)f(x)=x時，求g(x).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)且f(x+3)=-,又當(dāng)-3≤x≤-2時，f(x)=2x,則f(113.5)的值是（    ）

A.                  B.-                 C.                 D.-

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年人教版高考數(shù)學(xué)文科二輪專題復(fù)習(xí)提分訓(xùn)練7練習(xí)卷（解析版） 題型：填空題

設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù),在區(qū)間[-1,1]上,f(x)=其中a,b∈R.若f=f,則a+3b的值為　　　　.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年寧夏高三第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷 題型：選擇題

設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對x∈R，都有f(x+4)=f(x)，且當(dāng)x∈[－2,0]時，f(x)＝()x－1，若在區(qū)間(－2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞1)恰有3個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍是

A．(1,2)        B. (2，＋∞)       C. (1,)       D. (,2)

 

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