Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=a，E是PB的中點(diǎn)．
（1）求異面直線PD與AE所成角的正切值；
（2）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)F，使得EF⊥平面PBC；
（3）在（2）的條件下，求二面角F-PC-E的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC、BD交于點(diǎn)H，連接EH，由EH∥PD，可得∠AEH為異面直線PD與AE所成的角，解三角形AEH即可得到異面直線PD與AE所成角的正切值；
（2）設(shè)F為AD的中點(diǎn)，連接EF、HF，由三角形的中位線定理可得HF∥AB，進(jìn)而可得BC⊥平面EFH，則BC⊥EF，由勾股定理又可得到EF⊥PB，結(jié)合線面垂直的判定定理可得EF⊥平面PBC．
（3）由已知中PD⊥平面ABCD，由三垂線定理可得，PC⊥BC，取PC的中點(diǎn)G，連接EG，可得∠FGE為二面角F-PC-E的平面角，解三角形FGE即可得到二面角F-PC-E的正切值．
解答：解：（1）連接AC、BD交于點(diǎn)H，連接EH．
∵BH=DH，PE=EB，∴EH∥PD，
∴∠AEH為異面直線PD與AE所成的角，
∵EH=PD=，
AH=AC=a，
∴tan∠AEH==，即異面直線PD與AE所成角的正切值為．
（2）設(shè)F為AD的中點(diǎn)，連接EF、HF．∵H、F分別為BD、AD的中點(diǎn)，∴HF∥AB，故HF⊥BC，又EH⊥BC，∴BC⊥平面EFH，因此BC⊥EF．


又PF²=PD²+DF²=a²，BF²=AB²+AF²=a²，
E為PB的中點(diǎn)，∴EF⊥PB．∴EF⊥平面PBC，即點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)時(shí)滿足題意．
（3）∵PD⊥平面ABCD，∴CD是PC在平面ABCD上的射影．
又CD⊥BC，∴PC⊥BC．取PC的中點(diǎn)G，連接EG，則EG∥BC，∴EG⊥PC，連接FG．
∵EF⊥平面PBC，∴EG是FG在平面PBC上的射影，且PC⊥EG，∴FG⊥PC．∴∠FGE為二面角F-PC-E的平面角，
∵EG=BC=，
EF===a，
∴tan∠FGE==，
∴二面角F-PC-E的正切值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，異面直線及其所成的角，直線與平面垂直的判定，其中（1）（2）的關(guān)鍵是熟練掌握空間線線垂直，線面垂直，面面垂直之間的轉(zhuǎn)換；（3）的關(guān)鍵是求出∠FGE為二面角F-PC-E的平面角．