Question

已知數(shù)列{a_n}中，a_n=2n-1，n∈N*．求證：(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)≥

2 3

3

2n+1

對任意n∈N*恒成立．

Answer 1

分析：注意到該不等式是關于正整數(shù)n的不等式，可以考慮用數(shù)學歸納法證明該不等式，要寫清楚歸納奠基，關鍵要利用歸納假設實現(xiàn)由n=k到n=k+1的證明，注意分析法證明不等式的應用．

解答：證明：（1）當n=1時，左邊=1+1=2，右邊=

2 3

3

3

=2，所以命題成立
（2）假設當n=k（k∈N*）時結(jié)論成立，即：(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

ak

)≥

2 3

3

2k+1

則當n=k+1時
左邊=(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

ak

)(1+

1

ak+!

)≥

2 3

3

2k+1

•(1+

1

2k+1

)
而

2 3

3

2k+1

•(1+

1

2k+1

)=

2 3

3

•

2k+2

2k+1

，
∵2k+2＞

2k+1

•

2k+3

∴

2 3

3

•

2k+2

2k+1

＞

2 3

3

2k+3

=

2 3

3

2(k+1)+1

，即當n=k+1時結(jié)論成立．
由（1）、（2）可得：命題對于一切n∈N*恒成立．

點評：本題考查數(shù)列中不等式的證明問題，考查學生利用數(shù)學歸納法證明不等式的思想和方法，要注意該方法在證明不等式中的格式，利用歸納假設證明n=k+1時的命題時要注意目標意識，適當進行放縮轉(zhuǎn)化．