Question

如果把直角三角形的三邊都減少同樣的長度，仍能構成三角形，則這個新的三角形的形狀為（　　）

A．銳角三角形

B．直角三角形

C．鈍角三角形

D．由減少的長度決定

Answer 1

分析：先設出原來的三邊為a、b、c且c²=a²+b²，以及增加同樣的長度為x，得到新的三角形的三邊為a-x、b-x、c-x，知c-x為最大邊，所以所對的角最大，然后根據余弦定理判斷出余弦值為正數，所以最大角為銳角，得到三角形為鈍角三角形．

解答：解：設減小同樣的長度為x，原三邊長為a、b、c，且c²=a²+b²，c為最大邊．
則新的三角形的三邊長為a-x、b-x、c-x，可知c-x為最大邊，其對應角最大．
由于a-x+b-x＞c-x，∴a+b-c＞x，
而（a-x）²+（b-x）²-（c-x）²=x²-2（a+b-c）x=x[x-2（a+b-c）]
＜x[（a+b-c）-2（a+b-c）]=x[-（a+b-c）]=-x＜（a+b-c）＜0，
由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦值為

(a-x)2+(b-x) 2 -(c-x) 2

2(a-x)(b-x)

＜0，
故新三角形的最大角為鈍角，新三角形為鈍角三角形，
故選C．

點評：本題主要考查學生靈活運用余弦定理解決實際問題的能力，以及掌握三角形一些基本性質的能力，屬于中檔題．