已知拋物線C的方程為x2=2py（p＞0），過拋物線上點M（-2，p）作△MAB，A、B兩均在拋物線上．過M作x軸的平行線，交拋物線于點N．
（I）若MN平分∠AMB，求證：直線AB的斜率為定值；
（II）若直線AB的斜率為，且點N到直線MA，MB的距離的和為4p，試判斷△MAB的形狀，并證明你的結論．

【答案】分析：（1）由在x2=2py（p＞0）上可求P，可設直線MA的斜率為k，則直線MB的斜率為-k，則直線MA的方程為，聯(lián)立可得，則
同理可得，由可求
（2）同（1）可知，，=，由條件知KMA=-KMB結合已知可得，KMA•kMB=-1，從而可判斷
解答：解：（1）∵在x2=2py（p＞0）上
∴4p=2p2，可得p=2
可設直線MA的斜率為k，則直線MB的斜率為-k
則直線MA的方程為
聯(lián)立可得
則xM+xA=4k即
同理可得，
∴==
（2）同（1）可知，
則=，
由條件知KMA=-KMB即直線MA、MB關于MN對稱
則點到直線MA或MB的距離
由點到直線的距離公式可得kMA2=kMB2=1
∴KMA•kMB=-1∴
∴△MAB為Rt△
點評：本題考查拋物線性質的應用，直線與拋物線的位置關系的應用，方程的根與系數(shù)的關系的應用，直線的斜率公式的應用，綜合的知識較多，計算量較大，這也是圓錐曲線的�？嫉脑囶}．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C的方程為y=x2，過（0，1）點的直線l與C相交于點A，B，證明：OA⊥OB（O為坐標原點）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•浙江模擬）已知拋物線C的方程為y2=2px（p＞0），直線：x+y=m與x軸的交點在拋物線C準線的右側．
（Ⅰ）求證：直線與拋物線C恒有兩個不同交點；
（Ⅱ）已知定點A（1，0），若直線與拋物線C的交點為Q，R，滿足
AQ
•
AR
=0，是否存在實數(shù)m，使得原點O到直線的距離不大于
2
4
，若存在，求出正實數(shù)p的取值范圍；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•合肥三模）已知拋物線C的方程為x2=2py（p＞0），過拋物線上點M（-2
p
，p）作△MAB，A、B兩均在拋物線上．過M作x軸的平行線，交拋物線于點N．
（I）若MN平分∠AMB，求證：直線AB的斜率為定值；
（II）若直線AB的斜率為
p
，且點N到直線MA，MB的距離的和為4p，試判斷△MAB的形狀，并證明你的結論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C的方程為x2=2py（p＞0），焦點F為 （0，1），點P（x1，y1）是拋物線上的任意一點，過點P作拋物線的切線交拋物線的準線l于點A（s，t）．
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）若x1∈[1，4]，求s的取值范圍．
（3）過點A作拋物線C的另一條切線AQ，其中Q（x2，y2）為切點，試問直線PQ是否恒過定點，若是，求出定點；若不是，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C的方程為y2=2px（p＞0且p為常數(shù)），過焦點F作直線與拋物線交于A（x1，y1），B（x2，y2）
①求證：4x1x2=p2
②若拋物線C的準線l與x軸交于N點且AB⊥AN，求|x1-x2|

查看答案和解析>>

同步練習冊答案