Question

9．如圖，P、O分別是正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁上、下底中心，E是AB的中點，AB=kAA₁=2$\sqrt{2}$．
（1）求證：A₁E∥平面PBC₁；
（2）當(dāng)k=$\sqrt{2}$時，求點O到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （1）依題意，設(shè)此棱柱的高AA₁=2，則AB=2k，以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，取BC中點F，得$\overrightarrow{PF}$=$\overrightarrow{{A}_{1}E}$，利用線面平行的判定定理證明即可；
（2）利用等體積，即可求點O到平面PBC的距離．

解答 （1）證明：設(shè)此棱柱的高AA₁=2，則AB=2k，如圖建立空間直角坐標(biāo)系：
則P（0，0，2），O（0，0，0），B（k，k，0），C（-k，k，0），A₁（k，-k，2），A（k，-k，0），E（k，0，0）
取BC中點F（0，k，0）
則$\overrightarrow{PF}$=（0，k，-2），$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（0，k，-2），
∴$\overrightarrow{PF}$=$\overrightarrow{{A}_{1}E}$
∴A₁E∥PF，PF?面PBC，A₁E?面PBC
∴A₁E∥平面PBC；
（2）解：當(dāng)k=$\sqrt{2}$時，AB=2$\sqrt{2}$，AA₁=2，
∴V_P-OBC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}×2$=$\frac{4}{3}$，
∵S_△PBC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\sqrt{6}$，
設(shè)點O到平面PBC的距離為h，則$\frac{1}{3}×\sqrt{6}h$=$\frac{4}{3}$，
∴h=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題綜合考查了線面平行的判定定理，點O到平面PBC的距離，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．