Question

【題目】點為平面上一點，有如下三個結論：

①若，則點為的______；

②若，則點為的______；

③若，則點為的______.

回答以下兩個小問：

（1）請你從以下四個選項中分別選出一項，填在相應的橫線上.

A. 重心 B. 外心 C. 內心 D. 垂心

（2）請你證明結論②.

Answer 1

【答案】(1)①重心;②內心;③外心. (2)證明見解析.

【解析】

(1)對①,化為分析即可.

對②,通過運算證明即可證明點在的角平分線上,同理可證點在的角平分線上即可.

對③,先證明點為平面上一點,則滿足,不全為0的點是唯一的,再論證當為外心時滿足即可.

(1)對①,因為,故,取中點為,

則,故在邊的中線上.同理在邊的中線上,故為的重心.

對②,同解析(2).

對③,先證明點為平面上一點,則滿足,不全為0的點是唯一的.

證明：假設還有一點滿足,則有,即

,故,此時重合.

所以點是唯一的.

再證若為外心時, .

證明：因為

所以設的外接圓半徑為則

即.

綜上所述, 為外心.

(2)對,由正弦定理有.

故,故.

即

故,故在 的角平分線上,同理可證點在 的角平分線上.故為的內心.