Question

在直角坐標系中，以原點O為圓心，r為半徑的圓與直線

3

x-y+4=0相切．
（1）求圓O的方程
（2）圓O與x軸相交于A、B兩點（其中點B在x軸正半軸上）動點P滿足|PA|+|PB|=4r，求動點P的軌跡方程
（3）過點B有一條直線l，l與直線

3

x-y+4=0平行且l與動點P的軌跡相交于C、D兩點，求△OCD的面積．

Answer 1

考點：軌跡方程,圓的標準方程,直線與圓的位置關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由于以原點O為圓心，r為半徑的圓與直線

3

x-y+4=0相切．可得r=

4

( 3 )2+1

=2，即可得出；
（2）對于x²+y²=4，令y=0，可得A（-2，0），B（2，0）．|PA|+|PB|=4r=8＞|AB|=4，可得動點P的軌跡是橢圓．
（3）l與直線

3

x-y+4=0平行，可設l的方程為：

3

x-y+m=0，把點B（2，0）代入可得直線l的方程為：

3

x-y-2

3

=0．與橢圓的方程聯(lián)立可得C，D，即可得出|CD|．利用點到直線的距離公式可得原點O到直線l的距離d．利用△OCD的面積S=

1

2

d|CD|即可得出．

解答： 解：（1）∵以原點O為圓心，r為半徑的圓與直線

3

x-y+4=0相切．
∴r=

4

( 3 )2+1

=2，
∴要求的圓的方程為：x²+y²=4．
（2）對于x²+y²=4，令y=0，解得x=±2，可得A（-2，0），B（2，0）．
∵|PA|+|PB|=4r=8＞|AB|=4，
∴動點P的軌跡是橢圓：A，B為焦點，2a=8，a=4，b²=a²-c²=12．
∴動點P的軌跡方程為：

x2

16

+

y2

12

=1．
（3）∵l與直線

3

x-y+4=0平行，可設l的方程為：

3

x-y+m=0，
把點B（2，0）代入可得m=-2

3

．
∴直線l的方程為：

3

x-y-2

3

=0．
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
聯(lián)立

3 x-y-2 3 =0 x2 16 + y2 12 =1

，
化為5x²-16x=0，
解得

x=0 y=-2 3

，

x= 16 5 y= 6 3 5

，
∴|CD|=

( 16 5 )2+(-2 3 - 6 3 5 )2

=

32

5

．
原點O到直線l的距離d=

2 3

2

=

3

．
∴△OCD的面積S=

1

2

d|CD|=

1

2

×

3

×

32

5

=

16 3

5

．

點評：本題考查了直線與圓相切的性質、橢圓的定義及其標準方程、平行直線的性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．