Question

已知點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），直線l：x=-1，P為平面上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線PA的斜率為k₁，直線PB的斜率k₂，且k₁•k₂=-1，過P作l的垂線，垂足為Q，則△APQ面積的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),直線與圓

分析：由已知可得P為以AB為直徑的圓上，除AB外的任意點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（cosx，sinx），x≠kπ，k∈Z，進(jìn)而可得△APQ面積的最大值．

解答： 解：∵直線PA的斜率為k₁，直線PB的斜率k₂，且k₁•k₂=-1，
∴PA⊥PB，故P為以AB為直徑的圓上，除AB外的任意點(diǎn)，
由點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），
可得以AB為直徑的圓為x²+y²=1，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（cosx，sinx），x≠kπ，k∈Z，
則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，sinx），
不妨令P點(diǎn)在第一，二象限，
則△APQ中|PQ|=cosx+1，PQ邊上的高為sinx，
故△APQ面積S=

1

2

sinx（cosx+1）=

1

2

（sinxcosx+sinx）=

1

4

sin2x+

1

2

sinx，
∴S′=

1

2

（cos2x+cosx）=

1

2

（2cos²x+cosx-1），
令S′=0，則cosx=

1

2

，或cosx=-1（舍去），
此時(shí)x=

π

3

，S取最大值

1

4

sin

2π

3

+

1

2

sin

π

3

=

3 3

8

，
故答案為：

3 3

8

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線垂直的充要條件，三角函數(shù)的最值問題，是三角函數(shù)與直線和圓的綜合應(yīng)用，難度中檔．