如圖,橢圓上的點M與橢圓右焦點
的連線
與x軸垂直,且OM(O是坐標原點)與橢圓長軸和短軸端點的連線AB平行.
(1)求橢圓的離心率;
(2)F1是橢圓的左焦點,C是橢圓上的任一點,證明:;
(3)過且與AB垂直的直線交橢圓于P、Q,若
的面積是20
,求此時橢圓的方程.
(1);(2)詳見解析;(3)
解析試題分析:(1)由橢圓方程可知。將
代入橢圓方程可得
,分析可知點
在第一象限,所以
。由兩直線平行斜率相等,可得
,解得
,所以
,從而可得離心率
。(2)由橢圓的定義知
,且
,在
中用余弦定理可得
,用基本不等式可證得
,即
,所以在
中
。(3)由(1)可得
,即直線
的斜率為
,所以直線
的斜率為
,又因為過點
可得直線
的方程為
,將此直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去
得關(guān)于
的一元二次方程,可得根與系數(shù)的關(guān)系?蓪
分割長以
為同底的兩個三角形,兩三角形的高的和為
(還可用弦長公式求
在用點到線的距離公式求高,然后再求面積)。根據(jù)三角形面積為
可求
的值,從而可得橢圓方程。
(1)易得 4分
(2)證:由橢圓定義得: 8分
(3)解:設(shè)直線PQ的方程為 .代入橢圓方程消去x得:
,整理得:
∴
因此a2=50,b2=25,所以橢圓方程為 12分
考點:1橢圓的簡單幾何性質(zhì);2余弦定理;3基本不等式;4直線與橢圓的位置關(guān)系問題。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0),右頂點為(,0).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線l:y=kx+與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B,且
·
>2(其中O為原點),求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,設(shè)橢圓的左、右焦點分別為
,點
在橢圓上,
,
,
的面積為
.
(1)求該橢圓的標準方程;
(2)設(shè)圓心在軸上的圓與橢圓在
軸的上方有兩個交點,且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點,求圓的半徑..
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知拋物線的焦點
到準線的距離為
.過點
作直線交拋物線
與
兩點(
在第一象限內(nèi)).
(1)若與焦點
重合,且
.求直線
的方程;
(2)設(shè)關(guān)于
軸的對稱點為
.直線
交
軸于
. 且
.求點
到直線
的距離的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓:
經(jīng)過點
,其離心率
.
(1)求橢圓的方程;
(2)過坐標原點作不與坐標軸重合的直線
交橢圓
于
兩點,過
作
軸的垂線,垂足為
,連接
并延長交橢圓
于點
,試判斷隨著
的轉(zhuǎn)動,直線
與
的斜率的乘積是否為定值?說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知點是橢圓
上任一點,點
到直線
的距離為
,到點
的距離為
,且
.直線
與橢圓
交于不同兩點
、
(
,
都在
軸上方) ,且
.
(1)求橢圓的方程;
(2)當為橢圓與
軸正半軸的交點時,求直線
方程;
(3)對于動直線,是否存在一個定點,無論
如何變化,直線
總經(jīng)過此定點?若存在,求出該定點的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(12分)(2011•重慶)如圖,橢圓的中心為原點0,離心率e=,一條準線的方程是x=2
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)設(shè)動點P滿足:=
+2
,其中M、N是橢圓上的點,直線OM與ON的斜率之積為﹣
,
問:是否存在定點F,使得|PF|與點P到直線l:x=2的距離之比為定值;若存在,求F的坐標,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,是拋物線為
上的一點,以S為圓心,r為半徑(
)做圓,分別交x軸于A,B兩點,連結(jié)并延長SA、SB,分別交拋物線于C、D兩點。
(1)求證:直線CD的斜率為定值;
(2)延長DC交x軸負半軸于點E,若EC : ED =" 1" : 3,求的值。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(2013•浙江)如圖,點P(0,﹣1)是橢圓C1:+
=1(a>b>0)的一個頂點,C1的長軸是圓C2:x2+y2=4的直徑,l1,l2是過點P且互相垂直的兩條直線,其中l(wèi)1交圓C2于A、B兩點,l2交橢圓C1于另一點D.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)求△ABD面積的最大值時直線l1的方程.
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