Question

（2012•淮北一模）如圖所示，三棱柱ABC-A₁B₁C_l中，AB=AC=AA₁=2，面ABC₁⊥面AA_lC_lC，∠AA_lC_l=∠BAC₁=60⁰，
AC₁與A₁C相交于0．
（1）求證．BO上面AA_lC_lC；
（2）求三棱錐C₁-ABC的體積；
（3）求二面角A₁-B₁C₁-A的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中AB=AC=AA₁=2，，∠AA_lC_l=∠BAC₁=60⁰，AC₁與A₁C相交于0．結(jié)合菱形的對角線互相垂直，正三角形三線合一，可證得BO⊥AC₁，再由面ABC₁⊥面AA_lC_lC，及面面垂直的性質(zhì)定理可得BO上面AA_lC_lC；
（2）根據(jù)等體積法及（1）中結(jié)論，可得VC1-ABC=VB-ACC1，求出棱錐的底面面積及高，代入棱錐體積公式，可得答案．
（3）法一：以O(shè)為坐標(biāo)原點建系，分別求出平面A₁B₁C₁和平面B₁C₁A的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．
法二：連接AB₁交A₁B與F，作FG∥C₁O交B₁C₁于G，連接A₁G，根據(jù)二面角的平面角的定義，可得∠A₁GF即為二面角A-B₁C₁-A₁的平面角，解三角形A₁GF可得答案．

解答：證明：（1）由題意得四邊形AA₁C₁C為菱形，又∠AA_lC_l=60⁰，
∴△AA_lC_l為正三角形，即AC₁=AA₁，
又∵AB=AA₁，∴AC₁=AB，
又∠BAC₁=60⁰，
∴△BA_lC_l為正三角形，
又∵O為AC₁的中點
∴BO⊥AC₁，
又面面ABC₁⊥面AA_lC_lC，
∴BO上面AA_lC_lC                               （5分）
（2）由（1）得
VC1-ABC=VB-ACC1=

1

3

•

3

4

•22•

3

=1（8分）
（3）（法一）以O(shè)為坐標(biāo)原點建系如圖，則A(0，-1，0)，C1(0，1，0)，，A1(-

3

，0，0)，B1(-

3

，1，

3

)（10分）
∴平面A₁B₁C₁的一個法向量為

n1

=(1，-

3

，1)，
平面B₁C₁A的一個法向量為

n2

=(1，0，1)
設(shè)二面角A₁-B₁C₁-A的平面角為θ，
則cosθ=

(1，- 3 ，1)•(1，0，1)

5 • 2

=

10

5

（13分）
（法二）連接AB₁交A₁B與F，易得C₁O⊥A₁F，AB₁⊥A₁F
∴A₁F⊥平面B₁C₁A，又C₁O⊥OF，
作FG∥C₁O交B₁C₁于G，連接A₁G
得FG⊥B₁C₁，A₁G⊥B₁C₁
則∠A₁GF即為二面角A-B₁C₁-A₁
易得FG=1，A1F=

1

2

A1B=

6

2

，故A1G=

10

5

cos∠A₁GF=

10

5

                                              （13分）

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積，直線與平面垂直的判定，二面角的求法，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件，確定線線垂直，（2）的關(guān)鍵是利用等體積法將三棱錐C₁-ABC的體積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，（3）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題或確定出二面角的平面角．