Question

已知直線y=x-1與雙曲線交于兩點M，N 線段MN的中點橫坐標為-

2

3

雙曲線焦點c為

7

，則雙曲線方程為

 

．

Answer 1

分析：先設出曲線的方程，和M，N的坐標，分別代入直線方程相減求得y₁-y₂=x₁-x₂，利用MN中點的橫坐標求得x₁+x₂，利用直線方程求得y₁+y₂，把M，N代入雙曲線方程相減求得a和b的關系，進而利用c求得a和b，則雙曲線的方程可得．

解答：解：設雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1，M，N （x₁，y₁） （x₂，y₂）
則y₁=x₁-1，y₂=x₂-1，兩式相減求得y₁-y₂=x₁-x₂，

x 12

a2

-

y 12

b2

=1，

x 22

a2

-

y 22

b2

=1
兩式相減得：

(x 1+x2)(x1-x2)

a2

-

(y1+y2)(y1-y2)

b2

=0
又因為x₁+x₂=-

4

3

y₁+y₂=x₁+x₂-2=-

10

3

∵y₁-y₂=x₁-x₂
所以

4

a2

=

10

b2

∵c=

a2+b2

=

7

求得a=

2

，b=

5

∴雙曲線方程為

x2

2

-

y2

5

=1
故答案為：

x2

2

-

y2

5

=1

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．涉及弦的中點及中點弦問題，利用差分法較為簡便．