Question

如圖，設(shè)點(diǎn)A（x₀，y₀）為拋物線y2=

x

2

上位于第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B（0，y₁）在y軸正半軸上，且|OA|=|OB|，直線AB交x軸于點(diǎn)P（x₂，0）．
（Ⅰ）試用x₀表示y₁；
（Ⅱ）試用x₀表示x₂；
（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)A沿拋物線無(wú)限趨近于原點(diǎn)O時(shí)，求點(diǎn)P的極限坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到|OA|與|OB|，根據(jù)A在拋物線上消去y₀即可用x₀表示y₁．
（Ⅱ）先表示出直線AB的斜率，從而可得到直線AB的方程，然后令y=0得到所求的用x₀表示x₂．
（Ⅲ）對(duì)（Ⅱ）中x₂的關(guān)系式求極限，即可得到P的極限坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）|OA|=

x 2 0 + y 2 0

=

x 2 0 + x0 2

=

1

2

4 x 2 0 +2x0

，
∴y1=|OB|=

1

2

4 x 2 0 +2x0

．
（Ⅱ）kAB=

y1-y0

-x0

，
=

1 2 4 x 2 0 +2x0 - x0 2

-x0

，
=

2x0 - 4x0 2+2x0

2x0

，
直線AB的方程為
y=

2x0 - 4x0 2+2x0

2x0

x+

1

2

4x0 2+2x0

，
令y=0，得
x2=

2x0+1+ 2x0+1

2

．
（Ⅲ）

lim

x→0+

x2=

lim

x→0+

2x0+1+ 2x0+1

2

=1，
故當(dāng)點(diǎn)A沿拋物線無(wú)限趨近于原點(diǎn)O時(shí)，求點(diǎn)P的極限坐標(biāo)是（1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與拋物線的綜合問(wèn)題，直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題每年必考，而且經(jīng)常是以壓軸題的形式出現(xiàn)，分值比較高，一定要準(zhǔn)備充分．