△ABC中，角A、B、C所對邊分別為a、b、c，AH為BC邊上的高，給出以下四個結(jié)論：
①若a=1，b=
3
，則“A=
π
6
”是“B=
π
3
”成立的充分不必要條件；
②
AH
•(
AC
-
AB
)=0；
③
BC
•(
AB
-
AC
)=b2+c2-2bccosA；
④
AH
•(
AB
+
BC
)=
AH
•
AB
，
其中所有真命題的序號是
②④
②④
．
分析：①利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．②利用數(shù)量積的應(yīng)用判斷．
③利用數(shù)量積以及余弦定理判斷．④利用數(shù)量積的應(yīng)用判斷．
解答：解：①由正弦定理得
a
sinA
=
b
sinB
，即sinB=
3
sinA，若A=
π
6
，sinB=
3
sinA=
3
2
，所以B=
π
3
或
2π
3
．
反之，若B=
π
3
，則sinA=
1
2
，所以A=
π
6
．所以“A=
π
6
”是“B=
π
3
”成立的必要不充分條件．所以①錯誤．
②因為AH為BC邊上的高，所以
AH
?(
AB
-
AC
)=
AH
?
CB
=0，所以②正確．
③
BC
?(
AB
-
AC
)=
BC
?
CB
=-|
BC
|2=-a2，所以由余弦定理得③錯誤．
④
AH
?(
AB
+
AC
)=
AH
?
AB
+
AH
?
BC
=
AH
?
AB
，所以④正確．
故答案為：②④．
點評：本題主要考查平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，要求熟練掌握．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•豐臺區(qū)一模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且asinB-bcosC=ccosB．
（Ⅰ）判斷△ABC的形狀；
（Ⅱ）若f(x)=
1
2
cos2x-
2
3
cosx+
1
2
，求f（A）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•德州一模）已知函數(shù)f(x)=
3
sinxcosx-cos2x+
1
2
(x∈R)
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期及在區(qū)間[0，
5π
12
]上的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，又f(
A
2
+
π
3
)=
4
5
，b=2，面積S△ABC=3，求邊長a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•盧灣區(qū)一模）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=2bcosC，b+c=3a．求sinA的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•石景山區(qū)一模）在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若A=
π4
，a=2，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，向量
m
=(1，cosB)，
n
=(sinB，-
3
)，且
m
⊥
n
．
（1）求角B的大��；
（2）若△ABC面積為
3
3
2
，3ac=25-b2，求a，c的值．

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