Question

已知曲線C：

x2

4

+

y2

9

=1，直線l：

x=2+t y=2-2t

（t為參數(shù)）
（Ⅰ）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程．
（Ⅱ）過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）聯(lián)想三角函數(shù)的平方關(guān)系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲線C的參數(shù)方程，直接消掉參數(shù)t得直線l的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C上任意一點P（2cosθ，3sinθ）．由點到直線的距離公式得到P到直線l的距離，除以
sin30°進一步得到|PA|，化積后由三角函數(shù)的范圍求得|PA|的最大值與最小值．

解答：解：（Ⅰ）對于曲線C：

x2

4

+

y2

9

=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，
故曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosθ y=3sinθ

，（θ為參數(shù)）．
對于直線l：

x=2+t  ① y=2-2t  ②

，
由①得：t=x-2，代入②并整理得：2x+y-6=0；
（Ⅱ）設(shè)曲線C上任意一點P（2cosθ，3sinθ）．
P到直線l的距離為d=

5

5

|4cosθ+3sinθ-6|．
則|PA|=

d

sin30°

=

2 5

5

|5sin(θ+α)-6|，其中α為銳角．
當sin（θ+α）=-1時，|PA|取得最大值，最大值為

22 5

5

．
當sin（θ+α）=1時，|PA|取得最小值，最小值為

2 5

5

．

點評：本題考查普通方程與參數(shù)方程的互化，訓(xùn)練了點到直線的距離公式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．