已知數(shù)列滿足, ，．

（1）求證：是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列的通項公式；

（3）設，且對于恒成立，求的取值范圍

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 

解：（1）由an＋1＝an＋6an－1，an＋1＋2an＝3(an＋2an－1) (n≥2)…………… 3分

 

　　　　　　∵a1＝5，a2＝5　　∴a2＋2a1＝15……………………… 4分

故數(shù)列{an＋1＋2an}是以15為首項，3為公比的等比數(shù)列           …………5分

（2）由（1）得an＋1＋2an＝5·3n  ……………………………………………… 6分

由待定系數(shù)法可得(an＋n＋1)＝－2(an－3n)　……………………………8分

　即an－3n＝2(－2)n－1  故an＝3n＋2(－2)n－1＝3n－(－2)n              ………9分

（3）由3nbn＝n(3n－an)＝n[3n－3n＋(－2)n]＝n(－2)n，∴bn＝n(－)n………10分

 令Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝＋2()2＋3()3＋…＋n()n

 　　 Sn＝()2＋2()3＋…＋(n－1)()n＋n()n＋1         …………11分

得Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n()n+1＝－n()n+1＝2[1－()n]－n()n+1

　∴ Sn＝6[1－()n]－3n()n+1＜6           ………………13分

 

要使得|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＜m對于n∈N＊恒成立，只須m≥6    …14分

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列滿足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）
（1）求證：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；
（2）求{an}的通項公式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)F(x)=
3x-2
2x-1
，(x≠
1
2
)．
（I）求F(
1
2013
)+F(
2
2013
)+F(
3
2013
)+…+F(
2012
2013
)；
（II）已知數(shù)列滿足a1=2，an+1=F（an），求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅲ） 求證：a1a2a3…an＞
2n+1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•蕪湖三模）已知數(shù)列滿足a1+2a2+…+2n-1an=
n
2
（n∈N+）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項；
（Ⅱ）若bn=
n
an
，求數(shù)列{bn}的前n和Sn；
（Ⅲ）求證Sn≥n2+2n-1．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆度吉林省吉林市高二上學期期末理科數(shù)學試卷 題型：選擇題

已知數(shù)列滿足，則此數(shù)列的通項等于

A．       B．        C．            D．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆河北省高二第一學期期末考試理科數(shù)學試卷 題型：解答題

已知數(shù)列滿足：．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）設，求數(shù)列的通項公式；

（Ⅲ）設，不等式恒成立時，求實數(shù)的取值范圍.

 

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