Question

下列命題中，正確的是

 

．
①平面向量

a

與

b

的夾角為60°，

a

=（2，0），|

b

|=1，則|

a

+

b

|=

7

②已知

a

=（sinθ，

1+cosθ

），

b

=（1，

1-cosθ

），其中θ∈θ∈(π，

3π

2

)，則

a

⊥

b

③O是△ABC所在平面上一定點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足：

OP

=

OA

+λ（

AB

sinC

+

AC

sinB

），λ∈（0，+∞），則直線AP一定通過△ABC的內(nèi)心
④雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左焦點(diǎn)為F₁，頂點(diǎn)為A₁、A₂，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，則分別以線段PF₁、A₁A₂為直徑的兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)切或外切；
⑤命題“?x∈R，x²-2x+4＞0”的否定是“?x∈R，x²-2x+4≤0”．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：①由模的計(jì)算公式|

a

+

b

|=

a 2+ b 2+2 a • b

=

4+1+2×2×1×cos60°

，即可得出；
②由

a

•

b

=sinθ+

1-cos2θ

=sinθ-sinθ=0，可得

a

⊥

b

；
③O是△ABC所在平面上一定點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足：

OP

=

OA

+λ（

AB

sinC

+

AC

sinB

），λ∈（0，+∞），由正弦定理可得：

c

sinC

=

b

sinB

=2R，

AP

=λ•2R(

AB

| AB |

+

AC

| AC |

)，可得

AP

與∠BAC的平分線共線；
④雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左焦點(diǎn)為F₁，頂點(diǎn)為A₁、A₂，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，假設(shè)點(diǎn)P在雙曲線上的左支，F(xiàn)₂為雙曲線的右焦點(diǎn)，線段PF₁的中點(diǎn)為O₁，連接OO₁，可得|OO₁|=

1

2

|PF2|=

1

2

(2a+|PF1|)=a+

1

2

|PF1|，此時⊙O與⊙O₁外切；同理當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，兩圓內(nèi)切時，即可判斷出；
⑤利用命題的否定定義即可判斷出．

解答： 解：①平面向量

a

與

b

的夾角為60°，

a

=（2，0），|

b

|=1，則|

a

+

b

|=

a 2+ b 2+2 a • b

=

4+1+2×2×1×cos60°

=

7

，正確；
②∵θ∈(π，

3π

2

)，

a

•

b

=sinθ+

1-cos2θ

=sinθ-sinθ=0，∴

a

⊥

b

，正確；
③O是△ABC所在平面上一定點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足：

OP

=

OA

+λ（

AB

sinC

+

AC

sinB

），λ∈（0，+∞），∴

AP

=λ（

AB

sinC

+

AC

sinB

），
由正弦定理可得：

c

sinC

=

b

sinB

=2R，∴

AP

=λ•2R(

AB

| AB |

+

AC

| AC |

)，∴

AP

與∠BAC的平分線共線，則直線AP一定通過△ABC的內(nèi)心，正確；
④雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左焦點(diǎn)為F₁，頂點(diǎn)為A₁、A₂，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，假設(shè)點(diǎn)P在雙曲線上的左支，F(xiàn)₂為雙曲線的右焦點(diǎn)，線段PF₁的中點(diǎn)為O₁，連接OO₁，則|OO₁|=

1

2

|PF2|=

1

2

(2a+|PF1|)=a+

1

2

|PF1|，此時⊙O與⊙O₁外切；同理當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，兩圓內(nèi)切時，因此分別以線段PF₁、A₁A₂為直徑的兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)切或外切，正確；
⑤命題“?x∈R，x²-2x+4＞0”的否定是“?x∈R，x²-2x+4≤0”，正確．
綜上可得：①②③④⑤都正確．
故答案為：①②③④⑤．

點(diǎn)評：本題考查了簡易邏輯的判定、向量的模的計(jì)算公式、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、三角形的內(nèi)心的向量表示、雙曲線的性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．