Question

設(shè)x，y∈R，a＞1，b＞1，若a^x=b^y=2，a+

b

=4，則

2

x

+

1

y

的最大值為（　�。�

• A．3
• B．3

  2

• C．4
• D．4

  2

Answer 1

分析：由題意可得

2

x

+

1

y

=log2(a 2•b)，再利用基本不等式可求得a²b≤16，從而可得答案．

解答：解：∵a＞1，b＞1，若a^x=b^y=2，∴x=log_a2，y=log_b2，∴

1

x

=log₂a，

1

y

=log₂b，∴

2

x

+

1

y

=2log₂a+log₂b=log2(a 2•b)．
又4=a+

b

≥2

a b

，∴0＜a

b

≤4，∴0＜a²b≤16（當(dāng)且僅當(dāng)a=2，b=4時(shí)取“=”）．
∴log2(a 2•b)≤4，即 log2(a 2•b)的最大值為4．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)的概念，考查基本不等式，求得a²b≤16是難點(diǎn)，也是關(guān)鍵，屬于中檔題．