Question

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F₂與拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)重合，橢圓C₁與拋物線C₂在第一象限的交點(diǎn)為P，|PF2|=

5

3

，求橢圓C₁的方程．

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線的方程，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出橢圓的坐標(biāo)，通過定義建立方程，化簡即可得到橢圓C₁的方程．

解答：解：∵拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），∴點(diǎn)F₂的坐標(biāo)為（1，0）．
∴橢圓C₁的左焦點(diǎn)F₁的坐標(biāo)為F₁（-1，0），拋物線C₂的準(zhǔn)線方程為x=-1．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₁，y₁），由拋物線的定義可知|PF₂|=x₁+1，
∵|PF2|=

5

3

，∴x1+1=

5

3

，解得x1=

2

3

．
由y12=4x1=

8

3

，且y₁＞0，得y1=

2

3

6

．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

2

3

，

2

3

6

)．
在橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，c=1．
∴2a=|PF1|+|PF2|=

( 2 3 +1)2+( 2 3 6 -0)2

+

( 2 3 -1)2+( 2 3 6 -0)2

=4．
∴a=2，b=

a2-c2

=

3

．
∴橢圓C₁的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查橢圓的定義，考查待定系數(shù)法的運(yùn)用，屬于中檔題．