Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且3S_n=4a_n-4．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，Tn=

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

，求使k

n•2n

n+1

≥(2n-9)Tn恒成立的實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題,綜合題

分析：（Ⅰ）運(yùn)用a_n與S_n的關(guān)系式：a_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n＞1

，將n換為n-1，兩式相減，得到an與an-1的關(guān)系式，根據(jù)等比數(shù)列的定義即得通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化簡(jiǎn)c_n，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求出Tn，然后運(yùn)用參數(shù)分離法，得到k≥

2n-9

2n

，判斷出右邊數(shù)列的單調(diào)性，求出最大值，只需k不小于最大值即可．

解答： 解：（I）令n=1，由S₁=a₁，3S₁=4a₁-4可得a₁=4，
∵3S_n=4a_n-4，∴當(dāng)n＞1時(shí)，3S_n-3S_n-1=（4a_n-4）-（4a_n-1-4），
∴3a_n=4a_n-4a_n-1，即

an

an-1

=4，
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=4為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列，∴an=4n=22n；
（Ⅱ）c_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n=2+4+…+2（n-1）+2n=n（n+1），
∴Tn=

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=

n

n+1

，
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
由k

n•2n

n+1

≥(2n-9)Tn對(duì)任意n∈N^*恒成立，即實(shí)數(shù)k≥

2n-9

2n

恒成立；
設(shè)dn=

2n-9

2n

，dn+1-dn=

2(n+1)-9

2n+1

-

2n-9

2n

=

11-2n

2n+1

，
∴當(dāng)n≥6時(shí)，數(shù)列{d_n}單調(diào)遞減，1≤n≤5時(shí)，數(shù)列{d_n}單調(diào)遞增，
又d5=

1

32

＜d6=

3

64

，
∴數(shù)列{d_n}最大項(xiàng)的值為d6=

3

64

，
∴k≥

3

64

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的a_n與S_n的關(guān)系式及應(yīng)用，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消法，同時(shí)常用的分離參數(shù)法，通過(guò)構(gòu)造數(shù)列d_n，判斷它的單調(diào)性，求出最大值，從而解決問(wèn)題，這一思想應(yīng)認(rèn)真掌握．