已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Sn=2-an(n∈N+
(Ⅰ)求an的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)定義f(k)=
20i=1
aiai+k-1
(這里規(guī)定a21=a1,a22=a2,…,a39=a19),k=1,2,3,…,20,求f(k)的最小值.
分析:(Ⅰ)先由Sn=2-an得Sn-1=2-an-1,兩式作差可求遞推關(guān)系an=
1
2
an-1
,得數(shù)列{an}為等比數(shù)列,進(jìn)而求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)先寫(xiě)出f(k)的表達(dá)式,再利用等比數(shù)列的求和公式求出其結(jié)果,最后利用函數(shù)的單調(diào)性求其最小值.
解答:解:(Ⅰ)因?yàn)镾n=2-an(n∈N+),所以a1=1,
當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=2-an-1,所以an=-an+an-1,
an=
1
2
an-1

所以an=(
1
2
)n-1
(4分)
(Ⅱ)由題設(shè)得,f(k)=a1a1+k-1+a2a2+k-1+…+a21-ka20+a22-ka1+…+a20ak-1(6分)
=
1
2k-1
+
1
2k+1
+…+
1
239-k
+
1
221-k
+…+
1
2k+17

=
4(220-1)
3•241
(2k+
222
2k
)
(10分)
由函數(shù)g(x)=x+
222
x
的性質(zhì)可知,當(dāng)k=11時(shí),f(k)取到最小值
4(220-1)
3•219
.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系式以及等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用.是對(duì)數(shù)列知識(shí)的綜合考查.本題的難點(diǎn)在與對(duì)第二問(wèn)的f(k)的表達(dá)式的整理.
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19、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2(n∈N*),數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,且滿足b1=a1,2b3=b4
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
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(1)求k的值及通項(xiàng)公式an
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