已知拋物線y2=2px(p>0)和四個點A、B、C、D,其中A在拋物線上,B(b,0),C(0,c)(c≠0),且直線AC交X軸于D點
(1)若p=2,b=-8,且D為AC中點,求證:AC⊥BC
(2)若p=2,b=1,且AC⊥BC,判斷A,C,D三點的位置關(guān)系,并說明理由.
(3)對(1)(2)兩個問題的探究過程中,涉及到以下三個條件:
①AC⊥BC;  ②點A、C、D的位置關(guān)系; ③點B的坐標.
對拋物線y2=2px(p>0),請以其中的兩個條件做前提,一個做結(jié)論,寫出三個真命題,(不必證明).
【答案】分析:(1)結(jié)合拋物線的方程可設(shè),由D為AC的中點可知
要證明AC⊥BC?即可
(2)由題意可設(shè)由AC⊥BC,可得,代入可求,從而可得C是AD的中點
(3)真命題共有8種情況:①②⇒③共3種情況;①③⇒②共2種情況;②③⇒①共3種情況
解答:解:(1)由題意可設(shè),…(1分)
?D為AC中點,∴…(4分)
又∵∴AC⊥BC…(6分)
(2)由題意可設(shè),…(7分)
∵AC⊥BC,∴(10分)
,C是A,D的中點.…(12分)
(3)真命題共有8種情況:每個(2分)
①②⇒③共3種情況:
(i)若AC⊥BC,C為A,D的中點,則
(ii)若AC⊥BC,D為A,C中點,則B(-4p,0)
(iii)若AC⊥BC,A是C,D中點,則B(-4p,0)
①③⇒②共2種情況:
(i)若AC⊥BC,,則C為A,D的中點
(ii)若AC⊥BC,B(-4p,0),則D為A,C中點或A是C,D中點
②③⇒①共3種情況:
(i)若C為A,D的中點,,則AC⊥BC
(ii)若D為A,C中點,B(-4p,0),則AC⊥BC
(iii)若A是C,D中點,B(-4p,0),則AC⊥BC
點評:本題主要考查了拋物線的方程的應(yīng)用,直線垂直與向量垂直的相互轉(zhuǎn)化的應(yīng)用,利用拋物線方程y2=2px(p>0)的特點設(shè)出拋物線上點的坐標是一種常用的設(shè)法
練習冊系列答案
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已知拋物線y2=2px(p>0).過動點M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B,|AB|≤2p.
(1)求a的取值范圍;
(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點N,求△NAB面積的最大值.

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已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為l.
(1)求拋物線上任意一點Q到定點N(2p,0)的最近距離;
(2)過點F作一直線與拋物線相交于A,B兩點,并在準線l上任取一點M,當M不在x軸上時,證明:
kMA+kMBkMF
是一個定值,并求出這個值.(其中kMA,kMB,kMF分別表示直線MA,MB,MF的斜率)

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(2009•聊城一模)已知拋物線y2=2px(p>0),過點M(2p,0)的直線與拋物線相交于A,B,
OA
OB
=
0
0

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已知拋物線y2=2px(p>0),M(2p,0),A、B是拋物線上的兩點.求證:直線AB經(jīng)過點M的充要條件是OA⊥OB,其中O是坐標原點.

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