Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-2ax）e^x，g（x）=clnx+b，

2

是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）直線l同時(shí)滿足：
①l是函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線；
②l與函數(shù)y=g（x）的圖象相切于點(diǎn)P(x0，y0)，x0∈[e-1，e]．求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求出其導(dǎo)函數(shù)，利用x=

2

是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)對(duì)應(yīng) f′（

2

）=0，求出a的值；
（II）利用導(dǎo)函數(shù)分別求出兩個(gè)函數(shù)的切線方程，利用方程相等，對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等即可求出關(guān)于實(shí)數(shù)b的等式，再借助于其導(dǎo)函數(shù)即可求出實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=（x²-2ax）e^x
∴f'（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x…（2分）
由已知，f′(

2

)=0，∴[2+2

2

(1-a)-2a]e

2

=0，
∴2+2

2

-2a-2

2

a=0，得a=1 …（4分）
（Ⅱ）f（x）=（x²-2x）e^x，∴f'（x）=（x²-2）e^x∴f（2）=0，f'（2）=2e²
函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線l的方程為：y=2e²（x-2），
∵直線l與函數(shù)g（x）的圖象相切于點(diǎn)P(x0，y0)，x0∈[e-1，e]，∴y₀=clnx₀+b
又g′(x)=

c

x

，所以切線l的斜率為g′(x0)=

c

x0

，
故切線l的方程為：y-y0=

c

x0

(x-x0)
即l的方程為：y=

c

x0

x-c+b+clnx0得

c x0 =2e2 -c+b+clnx0=-4e2

⇒

c=2e2x0 b=c-clnx0-4e2

…（8分）
得b=2e²（x₀-x₀lnx₀-2）其中x₀∈[e^-1，e]（10分）
記h（x₀）=2e²（x₀-x₀lnx₀-2）其中x₀∈[e^-1，e]，h′（x₀）=-2e²lnx₀，
令h'（x₀）=0，得x₀=1．

x0	（e-1，1）	1	（1，e）
h′（x0）	+	0	-
h（x0）	增	極大值-2e2	減

又h（e）=-4e²，h（e^-1）=4e-4e²＞-4e²．
∵x₀∈[e^-1，e]，∴h（x₀）∈[-4e²，-2e²]，
所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為：-4e²≤b≤-2e²．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．