Question

設(shè)點(diǎn)P（x，y）到直線x=2的距離與它到定點(diǎn)（1，0）的距離之比為，并記點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)M（-2，0）的，過點(diǎn)M的直線l與曲線C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，當(dāng)線段EF的中點(diǎn)落在由四點(diǎn)C₁（-1，0），C₂（1，0），B₁（0，-1），B₂（0，1）構(gòu)成的四邊形內(nèi)（不包括邊界）時，求直線l斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用點(diǎn)P（x，y）到直線x=2的距離與它到定點(diǎn)（1，0）的距離之比為，建立方程，化簡可得曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理求出G的坐標(biāo)，判斷出G在正方形內(nèi)，即可求得直線l斜率的取值范圍．
解答：解：（I）∵點(diǎn)P（x，y）到直線x=2的距離與它到定點(diǎn)（1，0）的距離之比為，
∴
∴
∴曲線C的方程為；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），線段EF的中點(diǎn)G（x，y），
直線方程代入橢圓方程可得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-2=0
由△＞0，可得
∵x₁+x₂=，∴x=，y=
∵x=≤0，∴點(diǎn)G不可能在y軸的右邊
∵直線C₁B₂，C₁B₁的方程為y=x+1，y=-x-1
∴點(diǎn)G在正方形內(nèi)的充要條件為，即
∴．
綜上可知，．
點(diǎn)評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性強(qiáng)．