Question

已知, 正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中, M, N, P分別是棱AB, BC, DD₁中點(diǎn), 求證: PB^平面B₁MN

 

Answer 1

答案：
解析：

證明: ∵AM =BM, BN =NC        ∴MN∥AC        ∵BD^AC        ∴MN^BD        ∵D1D^平面ABCD        ∴BD為PB在平面ABCD內(nèi)的射影        ∴PB^MN        取A1A的中點(diǎn)Q, 則PQ∥AD        ∵AD^側(cè)面ABB1A1        ∴PQ^側(cè)面ABB1A­­1        ∴QB為PB在側(cè)面ABB1A1內(nèi)的射影        設(shè)QB與MB1交于點(diǎn)E        在△AQB和△BMB1中        ∵AQ =BM        AB =BB1­        ÐQAB =ÐMBB1 =90°        ∴△QAB≌MBB1        ∴Ð1 =Ð2        ∵Ð3 + Ð2 =90°           ∴Ð3 + Ð1 =90°        ∴ÐMEB =90°        即QB^B1M        ∴PB^MB1        ∵PB^MN        PB^MB1        MNMB1 =M        ∴PB^平面B1MN &nb sp;