Question

8．已知f（x）=x²-mx+m-1．
（1）若函數(shù)y=lg[f（x）]在區(qū)間[2，4]上有意義，求m的取值范圍；
（2）若函數(shù)y=|f（x）|在區(qū)間[2，4]單調(diào)遞增，求m的取值范圍；
（3）若函數(shù)y=f（2^x），x∈[0，1]的最大值為g（m），求g（m）的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）由題意可得x²-mx+m-1＞0在[2，4]恒成立，即有m＜x+1在[2，4]恒成立．由恒成立思想即可得到所求范圍；
（2）求得與x軸的交點，討論m的范圍，由函數(shù)的單調(diào)性，可得所求范圍；
（3）令t=2^x（1≤t≤2），函數(shù)y=t²-mt+m-1，求得對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性，可得最大值．

解答 解：（1）由y═lg（x²-mx+m-1）在區(qū)間[2，4]上有意義，
可得x²-mx+m-1＞0在[2，4]恒成立，
即有m＜x+1在[2，4]恒成立．
可得x+1≥3，即有m＜3；
（2）函數(shù)y=|f（x）|=|x²-mx+m-1|=|（x-m+1）（x-1）|，
即有函數(shù)與x軸的交點為（1，0），（m-1，0），
當(dāng)m-1≥7，即m≥8時，函數(shù)在[2，4]遞增；
當(dāng)m-1≤2，即m≤3時，函數(shù)在[2，4]遞增；
綜上可得，m的取值范圍是（-∞，3]∪[8，+∞）；
（3）令t=2^x（1≤t≤2），函數(shù)y=t²-mt+m-1，
對稱軸為t=$\frac{m}{2}$，
當(dāng)$\frac{m}{2}$≥2，即m≥4時，區(qū)間[1，2]為減區(qū)間，t=1時，取得最大值0；
當(dāng)$\frac{m}{2}$≤1，即m≤2時，區(qū)間[1，2]為增區(qū)間，t=2時，取得最大值3-m；
當(dāng)2＜m＜3時，函數(shù)在[1，$\frac{m}{2}$]遞減，在[$\frac{m}{2}$，2]遞增，且3-m＞0，
即有最大值為3-m；
當(dāng)3≤m＜4時，即有3-m≤0，則函數(shù)的最大值為0．
綜上可得，g（m）=$\left\{\begin{array}{l}{3-m，m＜3}\\{0，m≥3}\end{array}\right.$．

點評 本題考查二次函數(shù)的單調(diào)性和最值的求法，考查分類討論的思想方法，以及指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．