Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為D₁C₁，C₁B₁的中點(diǎn)，AC∩BD=P，A₁C₁∩EF=Q，
求證：（1）D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；
（2）若A₁C交平面DBFE于R點(diǎn)，則P，Q，R三點(diǎn)共線．

Answer 1

證明：如圖， （1）∵EF是的中位線， ∴， 在正方體中，，∴EF∥BD， ∴EF確定一個(gè)平面，即D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面． （2）正方體中，設(shè)確定的平面為α，又設(shè)平面BDEF為β， ， ∴Q∈α， 又Q∈EF， ∴Q∈β，則Q是α與β的公共點(diǎn)，α∩β=PQ， 又， ∴R∈A1C， ∴R∈α，且R∈β，則R∈PQ，故P，Q，R三點(diǎn)共線。