Question

9．在平行四邊形ABCD 中，$∠A=\frac{π}{3}$，邊AB、AD長(zhǎng)分別為2、1，若E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足$\frac{{|{\overrightarrow{CE}}|}}{{|{\overrightarrow{CB}}|}}=\frac{{|{\overrightarrow{DF}}|}}{{|{\overrightarrow{DC}}|}}$，則$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$的取值范圍是[2，5]．

Answer 1

分析 設(shè)CE=x，則DF=2x，用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{AF}$，得出$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$關(guān)于x的函數(shù)，求出此函數(shù)的值域即可．

解答 解：設(shè)CE=x（0≤x≤1），則DF=2x，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}+$（1-x）$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AF}$=x$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，
∵${\overrightarrow{AB}}^{2}$=4，${\overrightarrow{AD}}^{2}$=1，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=2×1×cos$\frac{π}{3}$=1．
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$=x${\overrightarrow{AB}}^{2}$+（x-x²+1）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$+（1-x）${\overrightarrow{AD}}^{2}$=4x+（x-x²+1）+（1-x）=-x²+4x+2，
令f（x）=-x²+4x+2=-（x-2）²+6，
則f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
∵f（0）=2，f（1）=5，
∴2≤f（x）≤5．
故答案為：[2，5]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．